Zadanie: W celu wyznaczenia nieznanego oporu pewnego opornika przyłączono
go do regulowanego źródła napięcia, a następnie zmieniając napięcie mierzono jaki prąd płynie
przez opornik. Otrzymano następujące wyniki:
U [V] | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
I [A] | 2.17 | 4.41 | 6.57 | 8.86 |
11.03 |
Wyznaczyć nieznany opór R.
Rozwiązanie:
Zgodnie z prawem Ohma napięcia na oporze jest równe iloczynowi tego oporu i prądu przez niego
płynącego. Stąd zależność prądu od napięcia będzie miała postać:
Jest więc to zależność postaci liniowej:
w której tangens kąta nachylenia prostej a odpowiada odwrotności oporu, a resztkowy prąd
I0 powinien w idealnym przypadku wynosić zero.
Tak więc punkty pomiarowe powinny ułożyć się na pewnej prostej. Prosta, która najlepiej do tych
punktów pasuje to właśnie prosta regresji.
Prostą tą policzymy zgodnie ze wzorem:
Odwrotność współczynnika proporcjonalności będzie odpowiadała poszukiwanemu oporowi.
Tak więc musimy policzyć, średnie wartości zmierzonych prądów i napięć, ich odchylenia
standartowe (jako pierwiastki wariancji) oraz kowariancję. Obliczenia przeprowadzimy w
tabelce:
Zauważmy, że ponieważ mamy pięć punktów pomiarowych, to prawdopodobieństwo wystąpienia
każdego z nich jest takie samo i wszystkie obliczenia możemy uprościć, tak że najpierw liczymy
wszystkie iloczyny, potem sumujemy i dzielimy przez liczbę pomiarów, np:
Wiersz szósty stanowi sumę wierszy od 1 do 5. Wiersz siódmy to wartości z wiersza szóstego
podzielone przez 5. Teraz wystarczy policzyć współczynniki a i b oraz poszukiwany
opór:
Jak widać współczynnik b nie jest dokładnie zerowy. Ta drobna różnica może wynikać z
niedokładności wykonanych pomiarów, błędnego wyskalowania przyrządów itp.
|