Notatki do wykładu z FIZYKI KWANTOWEJ.
Opracowali: J. Ropka, B. Wróbel. Konsultacje: J. Wolny
12. Operator momentu pędu.
Wartości własne operatora Lz i L2.
W
reprezentacji Schrodingera z-towa składowa operatora momentu
pędu wyraża się wzorem:
W układzie sferycznym:
Zauważmy, że komutator
.
Gdy komutator jest różny od zera, znaczy to, że nie można wyznaczyć równocześnie obydwu wartości reprezentowanych przez operatory. W naszym przypadku nie można jednocześnie wyznaczyć wartości dwóch składowych pędu (obowiązuje dla nich zasada nieoznaczoności).
Natomiast dla kwadratu momentu pędu:
.
Stąd wniosek, że można wyznaczyć długość operatora momentu pędu i jedną jego składową .
Wartości własne operatora Lz.
Rozwiązujemy równanie własne operatora momentu pędu i szukamy wartości własnych Lz
Przestrzeń fizyczna jest niezmiennicza po obrocie o 2 , a zatem
Zatem, wartości własne operatora Lz
Składowa Lz nie może przyjmować dowolnych wartości; wynika
to z niezmienniczości względem obrotu o 2.
Funkcje własne z-towej składowej momentu pędu wyrażają się wzorem:
Operator L2
Z
izotropowości przestrzeni wartości średnie spełniają relację:
|
-
średnia arytmetyczna kwadratów Lz |
|
wartość własna operatora kwadratu momentu
pędu |
Przejdźmy także na współrzędne sferyczne:
Można wykazać, że we współrzędnych sferycznych kwadrat momentu pędu wyraża się wzorem:
Ponieważ ,
więc istnieje wspólna baza funkcji własnych operatora
i
.
Dla operatora
funkcjami tymi są ,
zatem możemy zapisać:
oraz
funkcje
- są to tzw. stowarzyszone wielomiany Legendre'a .
Funkcje
noszą nazwę funkcji kulistych
(harmonik sferycznych). Poniżej podano
kilka pierwszych funkcji kulistych :
góra
|