Linie regresji II rodzajuDwuwymiarowa zmienna losowaLinie regresji I rodzaju z punktu widzenia fizyki są stosunkowo mało interesujące. Zamieściłem je w WVS dla kompletności wykładu. Linie regresji II rodzaju są natomiast niezwykle pożyteczne i na pewno każdy będzie je wielokrotnie wykorzystywał. Choćby na studenckiej pracowni I i II stopnia. Sądzę, że typowy student w ciągu pięciu lat studiów na naszym Wydziale musi policzyć prostą regresji II rodzaju co najmniej kilkadziesiąt razy. To chyba dostateczny powód, żeby dobrze zrozumieć o co w tym wszystkim chodzi. A poza tym to nie jest trudne!
Jak znaleźć parametry a i bJak powiedziano powyżej zaczynamy od znalezienia odległości punktów pomiarowych od prostej. Ponieważ punkt doświadczalnie zmierzony (xd , yd) i odpowiadający mu punkt teoretyczny (xt , yt) mają te same współrzędne x to odległość między nimi będzie równa różnicy ich współrzędnych y. A ponieważ punkty na prostej teoretycznej spełniają równanie tej prostej więc możemy zapisać:Zgodnie z następnym żądaniem, poszukujemy takich wartości parametrów prostej a i b, aby suma kwadratów tych różnic była jak najmniejsza: A powyższe zachodzi tylko wtedy, gdy pochodne z sumy kwadratów policzone względem parametru a i parametru b równają się zeru. Otrzymujemy więc dwa równania i dwie niewiadome. Rozwiązaniem tych równań jest: Tak więc, aby znaleźć prostą najlepiej dopasowaną do szeregu punktów pomiarowych należy obliczyć na podstawie zmierzonych wartości wartość oczekiwaną X (średnią), wartość oczekiwaną zmiennej Y, odchylenia standartowe obydwu zmiennych i współczynnik korelacji. Wielkości te wystarczy podstawić do wzorów na współczynniki a i b i już mamy prostą najlepiej dopasowaną do zmierzonych punktów.
Prostą najelpiej dopasowaną do zadanych punktów, wyznaczoną w opisany powyżej sposób metodą najmniejszych kwadratów o równaniu:
nazywamy prostą regresji II rodzaju zmiennej Y względem zmiennej X.
Prostą o równaniu:
Pomiar oporu elektrycznego
W praktyce zazwyczaj korzystamy, jak w powyższych przykładach, z gotowych wzorów. Czasami
jednak, kiedy spotykamy się z zależnością nieliniową, chcąc znaleźć parametry takiej zależności
musimy w sposób jawny zastosować metodę najmniejszych kwadratów i wyliczyć wyrażenia na
konkretne parametry. Przykład takiego postępowania zawiera poniższe zadanie.nazywamy prostą regresji II rodzaju zmiennej X względem zmiennej Y. Zależność oporu od temperatury
Linearyzacja funkcji
Funkcja wykładnicza
W przypadku niektórych zależności nieliniowych zamiast poszukiwać parametrów takich funkcji, łatwiej jest je sprowadzić do postaci liniowej (zlinearyzować), następnie zastosować regresję liniową, a następnie powrócić do pierwotnej formy funkcji.
Warto zwrócić uwagę, że w
rozważaniach dotyczących lini regresji II rodzaju zakładaliśmy, że wartości zmiennej losowej X są
wyznaczone dokładnie, bez żadnego rozrzutu. Przy takim założeniu odległość punktu od prostej
liczyliśmy jako różnicę wartości zmiennej Y wyliczonej teoretycznie i zmierzonej doświadczalnie.
Jeżeli jednak zmienna X też podlega pewnym rozrzutom, to wówczas odległość punktów od prostej
powinniśmy wznaczać jako długość odcinka łączącego punkt z prostą i do tej prostej
prostopadłego. Jest to jednak dużo bardziej skomplikowane rozwiązanie i nie będziemy go tu
omawiać (przynajmniej w tym roku ;-) ). W praktyce najczęsciej ustalamy wartości zmiennej X i
traktujemy je jako dużo bardziej dokładne, niż wyniki pomiaru Y. Nie zawsze jednak tak być musi i trzeba sobie z tego zdawać
sprawę.
|