Notatki do wykładu z FIZYKI STATYSTYCZNEJ.
Opracowali: J. Ropka, B. Wróbel. Konsultacje: J. Wolny
19. Gaz elektronów swobodnych.
![](w19graf/1.gif)
![](w19graf/2.gif)
![](w19graf/3.gif)
kF-
maksymalny promień wektora falowego (promień Fermiego w temp. 0 K)
N-
całkowita liczba elektronów =objętość kuli Fermiegio x gęstość stanów
![](w19graf/5.gif)
![](w19graf/6.gif) |
-koncentracja
(gęstość) nośników |
![](w19graf/7.gif) |
-promień kuli Fermiego |
![](w19graf/8.gif) |
-pęd Fermiego |
![](w19graf/9.gif) |
-prędkość Fermiego |
![](w19graf/10.gif) |
-energia Fermiego |
Rzędy wielkości
kula o
promieniu rS
jest równa objętości przypadającej na 1 elektron
![](w19graf/11.gif)
![](w19graf/12.gif)
![](w19graf/13.gif)
![](w19graf/14.gif) |
Å - promień atomu Bohra |
Koncentrację
odczytujemy z tablic:
dla metalu: |
![](w19graf/15.gif) |
(elektron ma kilka promieni atomu Bohra dla swobodnego ruchu) |
![](w19graf/17.gif)
Wnioski:
Mimo,
że T=0K (klasycznie powinny przestać się poruszać) okazuje się, że
elektrony muszą się poruszać, ponieważ stany podstawowe są zajęte i
muszą być pakowane do wyższych stanów energetycznych, tworząc kulę
Fermiego.
Największa
prędkość elektronów jest rzędu 1%c, czyli możemy zaniedbać poprawki
relatywistyczne.
![](w19graf/18.gif)
energia
atomu wodoru |
![](w19graf/19.gif) |
![](w19graf/20.gif) |
(1eV ~11400K) |
Na
poziomie Fermiego elektrony mają taką energię, jaką miałaby gaz
idealny o T ~ 11400 K
![](w19graf/21.gif) |
(energia termiczna w temperaturze pokojowej) |
Jeżeli
dodamy temperaturę, to rozmyje nam krawędź kuli Fermiego, ale bardzo
niewiele. Nadal w pierwszym przybliżeniu można przyjąć, że wszystkie
stany poniżej są obsadzone, a powyżej są puste.
Energia
całkowita (dla T=0K)
całka po
kuli Fermiego
![](w19graf/22.gif)
Średnia
energia na jedną cząsteczkę
![](w19graf/23.gif)
![](w19graf/24.gif)
![](w19graf/25.gif) ![](w19graf/26.gif)
Zarówno
EF jak i TF
są duże w porównaniu z energią termiczną (w T=0 K).
Liczymy
przybliżenie gazu doskonałego, więc nie liczymy energii potencjalnej.
Ale ponieważ gaz elektronów rozpatrujemy w sieci krystalicznej, więc
w pierwszym przybliżeniu można zaniedbać oddziaływanie między
elektronami.
Własności
termodynamiczne gazu elektronów swobodnych.
Statystyka
Fermiego:
![](w19graf/27.gif) |
średnie obsadzenie danego poziomu energetycznego |
![](w19graf/28.gif) |
rozkład
Fermiego w
T=0 K
|
![](w19graf/29.gif)
![](w19graf/30.gif) |
w T>0 K |
![](w19graf/31.gif) |
![](w19graf/32.gif) |
- to równanie pozwala wyznaczyć potencjał chemiczny |
Funkcja |
![](w19graf/33.gif) |
zwana jest rozkładem Fermiego |
Jest to
funkcja rozkładu dla cząstek, z których tylko jedna może zajmować
każdy stan kwantowy. Dla elektronów i wszystkich pozostałych cząstek
mających spin połówkowy, czyli dla fermionów, taka funkcja rozkładu
zapewnia spełnienie zakazu Pauliego. Rozkład Fermiego jest słuszny
dla wszystkich układów atomów lub cząstek umieszczanych na z góry
ustalonych pozycjach, wszędzie tam, gdzie tylko jeden atom lub
cząstka może zajmować taką pozycję. sytuacje takie można napotkać
przy rozważaniu termodynamiki defektów, rozpuszczania gazów w ciałach
stałych.
W
wyższych temperaturach ostra krawędź funkcji Fermiego zostaje
zaokrąglona- stany poniżej energii
EF
mają skończone prawdopodobieństwo bycia pustymi, a te o energiach
wyższych od
EF
mogą być zapełnione. Szerokość obszaru, na którym odchylenie funkcji
Fermiego od funkcji schodkowej jest znaczące, jest rzędu
2kT.
Widać, że w miarę podnoszenia temperatury tylko niewielka liczba
elektronów może pobrać energię. Fakt ten ma istotne konsekwencje, np.
dla ciepła właściwego gazu elektronowego.
Ciepło właściwe elektronów w metalach
Dla
typowej koncentracji elektronów przewodnictwa należałoby oczekiwać,
poza ciepłem właściwym sieci krystalicznej, wkładu od elektronów do
ciepła właściwego
,
zgodnie z prawem ekwipartycji energii - przynajmniej w podwyższonych
temperaturach. Doświadczenia wykonywane na metalach nie wykazały
jednak odchyleń od prawa Dulonga- Petita. Powód jest prosty:
elektrony, w odróżnieniu od gazu klasycznego, mogą pobierać energię
tylko wtedy, gdy mają możliwość przeniesienia się na nie obsadzony
stan o energii niewiele się różniącej od energii stanu wyjściowego.
Liczba elektronów, które mają taką możliwość, wyrażona jako ułamek
całkowitej koncentracji n, jest zaledwie rzędu 1%, jak to
pokazuje następujący przykład:
"Rozmyty"
obszar funkcji Fermiego ma szerokość rzędu 4kT, czyli zakaz
Pauliego zezwala tylko części
4kT/EF
wszystkich "swobodnych" elektronów (o koncentracji n)
na absorbowanie energii termicznej. Energia przypadająca na jeden
elektron jest rzędu kT, tak więc energia całkowita wszystkich
termicznie wzbudzonych elektronów jest rzędu
![](w19graf/35.gif)
Oznaczając
przez
![](w19graf/36.gif)
temperaturę Fermiego, otrzymujemy następujące oszacowanie rzędu
wielkości ciepła właściwego elektronów:
![](w19graf/37.gif)
Temperatury
Fermiego są rzędu 105 K i to, ze względu na czynniki
we wzorze, tłumaczy znikomy wkład elektronów przewodnictwa do ciepła
właściwego.
Przeprowadzimy
dokładnie obliczenia:
Eel |
-energia elekt. |
![](w19graf/39.gif) |
-
ciepło właściwe elektronów |
![](w19graf/40.gif)
![](w19graf/41.gif)
![](w19graf/42.gif)
Pochodna
funkcji Fermiego po temperaturze jest niezerowa tylko w pobliżu
energii Fermiego. Ponieważ gęstość stanów
,
czyli jest ciągłą funkcją energii, w obliczenia istotna jest tylko
gęstość stanów na powierzchni Fermiego.
, |
![](w19graf/45.gif) |
zróbmy
podstawienie; |
![](w19graf/46.gif) |
![](w19graf/47.gif)
![](w19graf/48.gif)
![](w19graf/49.gif)
![](w19graf/50.gif)
Jedyną
różnicą pomiędzy ścisłym rachunkiem i poprzednim szacowaniem jest
pojawienie się czynnika
zamiast liczby 8.
Ostatecznie
:
![](w19graf/52.gif)
![](w19graf/53.gif)
W niskich
temperaturach ciepło właściwe sieci krystalicznej jest proporcjonalne
do T3 (model Debye’a), a zatem całkowite
ciepło właściwe wyraża się wzorem :
![](w19graf/54.gif)
Przyczynek
do ciepła właściwego pochodzący od gazu elektronów swobodnych jest
istotny tylko w niskich temperaturach, kiedy składnik liniowy
przewyższa składnik sześcienny. Dla niektórych substancji efektywna
masa jest bardzo duża (mają duże
).
Są to tzw. ciężkie fermiony.
góra
|