Notatki do wykładu z FIZYKI STATYSTYCZNEJ.
Opracowali: J. Ropka, B. Wróbel. Konsultacje: J. Wolny
10. Maxwellowski rozkład prędkości.
Przestrzeń fazowa.
Do pełnego opisu układu potrzebna jest w mechanice klasycznej znajomość współrzędnych uogólnionych (q) i pędów uogólnionych (p). Przestrzeń, która jest zbudowana na tych współrzędnych i pędach, to przestrzeń fazowa.
f - liczba stopni swobody
![](w10graf/1-1-Pr-prop.gif) |
- dla rozkładu kanonicznego i wybranego poziomu energetycznego. |
W mechanice klasycznej możemy zapisać:
![](w10graf/1-2-Pq1.gif) ; |
|
- warunek normalizujący |
Maxwellowski rozkład prędkości.
Rozważamy gaz w stanie równowagi. Jaki jest rozkład prędkości cząsteczek takiego gazu?
Załóżmy, że w naszych warunkach dozwolony jest klasyczny opis cząsteczek gazu i zajmijmy się szczegółowiej dowolną jednoatomową jego cząsteczką. Taka cząsteczka przedstawia dla nas niewielki, wyróżniony układ znajdujący się w kontakcie termicznym ze zbiornikiem ciepła złożonym z pozostałych cząsteczek gazu i mającym temperaturę T. W przypadku, gdy można zaniedbać siły zewnętrzne, energia naszej cząsteczki jest po prostu jej energią kinetyczną
![](w10graf/1-4-en-kin.gif)
Możemy postawić teraz pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo, że wektor położenia cząsteczki ma wartość z przedziału (r, r+dr) oraz że jednocześnie wartości pędu cząsteczki znajdują się w przedziale (p, p+dp) .
![](w10graf/1-5-P-od-rp.gif)
![](w10graf/1-6-P-od-rV.gif)
gdzie d3V=dVxdVydVz oraz d3r=dxdydz
Można zapytać, ile cząsteczek ma prędkość w określonym przedziale prędkości.
![](w10graf/1-7-f-od-V.gif) |
- średnia liczba cząsteczek na jednostkę objętości, które mają prędkość zawartą w przedziale V,V+dV. |
Ponieważ N cząsteczek gazu porusza się niezależnie, prawie nie oddziałując na siebie, więc gaz ten przedstawia statystyczny zbiór cząsteczek, z których pewien ułamek określany prawdopodobieństwem P(r, V) znajduje się pomiędzy r i r+dr, a prędkość pomiędzy V i V+dV. Średnia liczba f(V)d3V jest zatem równa iloczynowi prawdopodobieństwa P(r, V)d3rd3V i całkowitej liczby cząsteczek N podzielonemu przez element objętości d3r. Zatem
![](w10graf/1-8-f-od-V2.gif)
![](w10graf/1-9-f-od-V3.gif)
gdzie C jest współczynnikiem proporcjonalności.
Równanie to nosi nazwę maxwellowskiego rozkładu prędkości.
Zauważmy, że ani prawdopodobieństwo P(r, V), ani też średnia liczba f nie zależą od położenia r cząsteczki, ponieważ nie może mieć ona uprzywilejowanego położenia w przestrzeni, w przypadku gdy na układ nie działają żadne siły zewnętrzne. P(r, V) zależy tylko od modułu wektora V, a nie zależy od kierunku.
Rozkład szybkości.
F(V)dV - średnia liczba cząsteczek na jednostkę objętości, których szybkość |V| znajduje się pomiędzy V i V+dV
![](w10graf/2-0-F-od-V.gif)
![](w10graf/2-1-F-od-V2.gif)
Zależność F(V) jako funkcję modułu prędkości pokazuje poniższy rysunek. Szybkość odpowiadającą maksimum rozkładu F(V)nosi nazwę najbardziej prawdopodobnej szybkości. Można ją znaleźć przyrównując do zera pochodną:
![](w10graf/2-2-dF-po-dV.gif)
![](w10graf/2-3-beta-m-V.gif)
![](w10graf/2-4-V-z-falka.gif)
Np. dla cząsteczek azotu w temperaturze pokojowej |
![](w10graf/2-5-V-z-falka2.gif) |
Po normalizacji, maxwellowski rozkład szybkości ma postać:
![](w10graf/2-6-F-od-V-dV.gif)
Liczymy średnią energię cząsteczki gazy doskonałego:
![](w10graf/2-7-spsilonk-sr.gif)
![](w10graf/2-8-maxwell.gif)
Rysunek -Tomasz Walczak
góra
|