Notatki do wykładu z FIZYKI STATYSTYCZNEJ.
Opracowali: J. Ropka, B. Wróbel. Konsultacje: J. Wolny
5. Paramagnetyzm (prawo Curie). Ciepło właściwe oscylatora harmonicznego.
Jako pierwszy przykład zastosowania funkcji rozdziału zbadamy właściwości magnetyczne substancji umieszczonej w zewnętrznym polu magnetycznym o
indukcji B i zawierającej w jednostce objętości
N0 atomów mających moment magnetyczny. Rozważmy szczególnie prosty przypadek, w którym każdy atom ma spin 1/2 i związany z nim moment magnetyczny
. Substancję taką nazywać będziemy paramagnetykiem.
Przypuśćmy, że substancja ta ma w danej chwili określoną temperaturę bezwzględną T. Nasuwające się pytanie brzmi:
Ile wynosi w takich warunkach średnia wartość składowej momentu magnetycznego pojedynczego atomu wzdłuż kierunku pola magnetycznego B?
Skupiamy uwagę na pojedynczym atomie, traktując pozostałe atomy, jakby tworzyły zbiornik ciepła o bezwzględnej temperaturze
T (zaniedbujemy oddziaływanie między atomami). Każdy atom może znaleźć się w jednym z dwóch możliwych stanów:
lub - :
![](w5graf/0-9-E-jest.gif)
E= B |
P- |
E=- B |
P+ |
Prawdopodobieństwo, zgodnie z rozkładem kanonicznym, wynosi:
funkcja rozdziału, czyli suma po wszystkich stanach (w tym przypadku po dwóch):
![](w5graf/1-5-Z-jest-exp.gif)
Ponieważ bardziej prawdopodobne jest znalezienie atomu w stanie, w którym jego
moment magnetyczny jest równoległy do kierunku B, więc średni moment magnetyczny musi być również skierowany zgodnie z B.
Jeżeli temperatura T jest duża
tzn. jeżeli
,
to prawdopodobieństwo równoległego ustawienia się momentu magnetycznego
względem kierunku pola będzie prawie takie samo jak prawdopodobieństwo ustawienia antyrównoległego.
W takim przypadku orientacje momentów magnetycznych będą prawie zupełnie przypadkowe, czyli 0.
Z drugiej strony, jeżeli temperatura T jest bardzo mała , tzn.
,
to prawdopodobieństwo równoległego ustawienia się momentu magnetycznego będzie dużo większe niż prawdopodobieństwo ustawienia się antyrównoległego, a zatem
. Wyliczmy:
![](w5graf/2-0-mi-sr-jest-2.gif)
![](w5graf/0-7-wykres-2.gif)
Pole magnetyczne ustawia spiny, a temperatura je rozrzuca.
|
Wykres prawdopodobieństwa P +, że moment magnetyczny ![](w5graf/1-1-mi-0.gif) jest skierowany równolegle do pola i
prawdopodobieństwa P -, że moment ten skierowany jest antyrównolegle do pola, gdy indukcja przyłożonego pola wynosi B,
a temperatura bezwzględna T. |
Średni moment magnetyczny na jednostkę objętości substancji, czyli tzw. namagnesowanie lub magnetyzacja,
skierowany jest zgodnie z polem magnetycznym, a jego wielkość jest równa:
,
gdzie N0 jest liczbą atomów w jednostce objętości.
Prawo Curie
, gdzie jest stałym współczynnikiem proporcjonalności niezależnym od B i nazywamy go podatnością
magnetyczną substancji:
![](w5graf/2-8-kappa-def.gif)
Fakt, że jest odwrotnie proporcjonalne do bezwzględnej temperatury, jest znany pod nazwą prawa Curie.
Ogólnie, dla całkowitego momentu pędu J, możemy napisać:
|
gdzie g -czynnik Landego, BJ - funkcja
Brillouina |
|
Ciepło właściwe oscylatora harmonicznego.
Obliczanie ciepła właściwego oscylatora harmonicznego jest kolejnym przykładem na wykorzystanie funkcji rozdziału.
![](w5graf/3-2-E-n.gif) |
- energia oscylatora harmonicznego |
Liczymy funkcję rozdziału:
![](w5graf/3-3-Z-jest-sigma.gif)
![](w5graf/3-4-Z-jest-sigma-reszta.gif)
Średnia energia oscylatora harmonicznego:
![](w5graf/3-5-E-sr-jest--dlnZ.gif)
w powyższym wzorze składnik odpowiada za tzw. energię
drgań zerowych.
![](w5graf/3-7-e-do-x.gif)
![](w5graf/3-8-e-do-beta-omega.gif)
w przypadku wysokich temperatur:
![](w5graf/3-9-E-jest-h-omega.gif)
Ciepło właściwe oscylatora harmonicznego wynosi:
![](w5graf/4-0-Cw-oscylatora.gif)
![](w5graf/4-1-Cw-oscylatora-def.gif)
Dla ![](w5graf/4-2-T-do-0.gif) |
![](w5graf/4-3-beta-do-niesk.gif) |
(zanik eksponencjalny) |
Dla ![](w5graf/4-5-T-do-niesk.gif) |
![](w5graf/4-6-beta-do-0.gif) |
![](w5graf/4-6-Cw-do-kB.gif) |
![](w5graf/0-6-wykres-3.gif)
Wniosek:
Dla każdego oscylatora harmonicznego w odpowiednio wysokich temperaturach ciepło właściwe wynosi kB
niezależnie od rodzaju oscylatora (tj. od odległości między poziomami). Jest to zgodne z zasadą ekwipartycji energii i prowadzi do prawa Dulonga
Petita dla ciepła molowego ciał stałych.
góra
|